2011/12/22

整除性的檢定 Divisibility Tests

「2的倍數有何規律?」
「最後個位數字必然是2的倍數囉。」
「咁...4的倍數呢?」
「最後2位數字必然是4的倍數囉。」
「咁...8的倍數呢?」
「最後3位數字必然是3的倍數囉。」
「5的倍數呢?」
「個位數字必然是5或0囉。」

「那麼,7的倍數又有何規律?」
記得我在初中時用的是「截尾法」。對任何數,
(1)先把最尾的個位數字捨去;
(2)將捨去後的數减該數字的兩倍。
重複(1)及(2),直至你看出它是7的倍数為止。

(截尾法來源:《數:上帝的寵物》,談祥柏著。ISBN:7-5320-4801-2,上海教育出版社,1988,頁4)
以 674253 為例,
把 3 捨去後得 67425 ,減 3 的兩倍後得 67419,
把 9 捨去後得 6742,減 9 的兩倍後得 6724,
把 4 捨去後得 672,減 4 的兩倍後得 664,
把 4 捨去後得 66, 減 4 的兩倍後得 58(不是 7 的倍數),
故 674253 不能被 7 整除。
若果該數是1000以下,直接驗算當然較好啦~

分析:
設原數為 A = 10x + y,
截尾後的數為 B = x − 2y。
故此 A - 3B = 7x + 7y,即 A = 7(x+y) + 3B
(若 B 能被 7 整除,則 A 亦能被 7 整除,反之亦然)
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。
至於 11 及 13 的的整除性,
「截尾法」其實也適用(只是尾數分別乘以1及4而已)。

挑戰:
1. 你可以用相同方法(尾數乘以2),來判定其他數字的整除性嗎?
2. 你可以用類似方法,來判定其他數字的整除性嗎?
當然你也可問我「117的倍數有何規律?」,
但「截尾法」恐怕比用正常的除法好不了多少。

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以下談的是其他方法。

「1000以下且是7的倍數有何規律?」

我這裡利用數論的「同餘(congruences)」的引理(lemma):
(1)若A為7的倍數,則將A加或減7的倍數後,仍為7的倍數。
(2)若A除以7的餘數為k,則將A加或減7的倍數後,則餘數仍為k。

分析:
設原數為 A = 100x + 10y + z,
考慮 B = 2x + 3y + z(即百位乘2,十位乘3,個位乘1,然後相加)
故此 A - B = 98x + 7y,即 A = 7(14x+y) + B
(若 B 能被 7 整除,則 A 亦能被 7 整除,反之亦然)
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。
以 253 為例,
百位乘2,十位乘3,個位乘1,相加後得 22(不是 7 的倍數),
故 253 不能被 7 整除。
根據引理(2),253及22除以7的餘數也相同!


「1000以上且是7的倍數有何規律?」

將此數由右而左,每三位數字一組,拆成多個三位數,
再梅花間竹給予正號、負號、正號、負號、...
然後將這三組數相加,如為7的倍數,則原數必為七的倍數。
以 39247852 為例,
考慮 +852-247+039 = 644,
再用上面的方法或直接除 7,禮成!

練習:
546、5934516、3451459802384,哪些是7的倍數?
挑戰:
同學能否模仿上述的方式來找一找:13倍數的判別法?

李柏良先生就整除性於今年八月上載 J.L.Lagrange 的判別法
我個人覺得有趣,不失作為教師參考。
(但方法容易記錯,老師需要稍加備課,不能隨口就講得流暢)

後記:重新執筆,事緣一次跟小學老師的交流會中,駭然發現連老師也不知道(即不會主動學數也不會做網上搜尋),也在一次聖誕聯歡會跟學生玩「拍7遊戲」(玩法:輪流報數,碰到 7 的倍數或者含 7 的數字就拍手,犯錯者受罰……)時感到懊惱,感覺應有很多人對數學不是望而生畏(那也許是結果),而是不知如何入手,久而久之就敬而遠之。

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